I - INTRODUCTION À MAPLE

Table des matières :

Commandes de base
Calculs numériques
Calculs symboliques
Aide en ligne
Exercices

1. Commandes de base

Chaque commande / instruction Maple se termine obligatoirement par un double point (:) ou un point-virgule (;). Ce dernier affiche le résultat du calcul effectué, alors que les deux points suggèrent à Maple d'effectuer le calcul sans l'afficher (par contre, le résultat est dans la mémoire de Maple). On valide une commande (on dira dans la suite plus simplement qu'on valide une ligne) par un appui sur la touche Entrée (que l'on notera [Entrée]). Si l'on valide une ligne qui ne se termine pas par un : ou un ;, alors Maple affiche le message d'erreur suivant : « Warning, premature end of input ». Dans Maple, notez que les lignes que vous tapez sont en rouges alors que les lignes de calcul effectués par Maple sont centrées et en bleu. On reprendra cette convention ici. On peut écrire plusieurs lignes de calculs à la suite en séparant chaque ligne par l'appui simultané sur Shift puis Entrée, ce que l'on note [Shift] + [Entrée]. L'appui final sur [Entrée] calculera alors toutes les lignes (du dernier chevron > observé au dernier ; ou :).

	> 10+5; [Shift] + [Entrée] 10*5: [Entrée]
	15
	> 10/5
	Warning, premature end of input

Rappel du dernier calcul : Dans le langage Maple, il est possible de rappeler les derniers calculs effectués. Pour cela, il existe trois commandes différentes : %, qui rappelle le dernier calcul effectué ; %%, qui rappelle l'avant dernier calcul effectué et %%% qui rappelle l'antépénultième (i.e. l'avant-avant-dernier) résultat calculé. ATTENTION : pour des versions antérieures, les derniers résultats s'appellent par les commandes " (sûr), "" et """ (à vérifier). L'exemple suivant illustre bien ce principe de rappel des derniers calculs :

	> 10+5; 10*5;
	15 50
	> %+%%; % contient ici 50 et %% contient 15 %-%%%; % contient ici le résultat précédent, donc 65, et %%% contient 15
	65 15

Multiplication : En Maple, il faut toujours séparer les deux éléments qu'on multiplie entre eux par le symbole de multiplication *. Si par exemple, on tape 5x à la place de 5*x, Maple renvoie une erreur : « Error, missing operator or `;` ». Remarquez que quand Maple détecte une erreur, il place le curseur là où il l'a trouvée.

Réinitialisation et commentaires : L'instruction restart; permet à Maple de vider toute sa mémoire (s'il a des variables en mémoire, par exemple a = 2, il les libère), c'est la réinitialisation. Il est conseillé de prendre l'habitude d'utiliser cette instruction entre chaque exercice d'un même fichier Maple (que l'on appelle feuille Maple – en effet, les fichiers Maple sont enregistrés au format spécifique "mws", qui signifie "Maple WorkSheet", i.e. "Feuille de Travail Maple"). On peut évidemment insérer des commentaires en Maple qui expliquent par exemple les calculs effectués. Tout ce qui suit un # n'est pas évalué par Maple (bien veiller à mettre le ; avant le # dans ce cas-là). Regardons cet exemple :

	> # Effectuons une simplification simplify(cos(x)^2+sin(x)^2); #le résultat doit faire 1
	1

Attribution des variables et comparaisons : En mathématiques, le symbole "=" a deux significations. Il permet d'attribuer des valeurs à des chiffres (« Soit n = 2 ») ou de comparer des quantités entre elles (« L'équation y = 2x + 1 »). Maple distingue ces deux notions. Les affectations se font par le symbole :=, tandis que les comparaisons s'effectuent par le traditionnel =. On s'intéressera plus tard aux comparaisons, tout ce qu'on peut dire pour l'instant est que evalb(2=3-1); est une fonction d'évaluation de booléen (vrai / faux, en Maple true / false) qui compare 2 et 3 – 1. Pour affecter 4 à la variable a, on fait alors a:=4. Dès que l'instruction est validée par [Entrée], a possède la valeur 4. On peut ainsi faire des calculs avec cette variable. Regardons cet exemple déjà plus complet :

	> a:=4; b:=a^2; b-a;
	a := 4 b := 16 12
	> evalb(a=b); evalb(%%=3*a);
	false true

2. Calculs numériques

Maple n'aime pas les résultats numériques, et tant que cela ne lui est pas demandé, il donnera le résultat sous forme la plus formelle possible. Il est cependant possible de forcer Maple à fournir des valeurs approchées des calculs effectués. Ceci se fait via la commande evalf (qui signifie "évaluation en flottants", où flottant veut lui-même dire nombre à virgule !). L'appel de cette commande n'est pas toujours obligatoire : en effet, si on remplace 1 par 1. dans une instruction, Maple l'interprète comme un flottant (il prend 1. pour 1.0 en fait), effectue tout le calcul avec des flottants et renvoie donc un résultat flottant).

	> 500/3; evalf(%);
	500 3 166.6666667
	> 500/3.; # donne le même résultat que 500./3
	166.6666667

Remarques :
• Maple est un logiciel anglais, donc les nombres à virgules sont séparés par un ., il distingue aussi les majuscules des minuscules ;
• Pour ceux qui comprennent (ce n'est pas grave du tout pour les autres !!), Maple effectue en fait le calcul demandé dans le plus petit corps contenant tous les coefficients du calcul ;
• Maple dispose de plusieurs constantes connues et fonctions de bases. Ainsi il est possible d'évaluer ln au point 2 grâce à la commande evalf sans pour autant avoir à définir la fonction ln. Maple connaît aussi π, e, le nombre complexe i. Tous ces nombres s'écrivent respectivement Pi, exp(1) et I, et pas autrement. Maple connaît toutes les lettres grecques. L'écriture de ces dernières en minuscules dans Maple sert juste à les afficher comme en Grèce (a:=pi; va impliquer a := π à l'affichage, mais Maple ne considère PAS a comme le nombre π = 3.1416... alors que a:=Pi; produit le même effet mais a vaut π) ;
• Par défaut, Maple affiche 10 chiffres significatifs (i.e. 10 chiffres en tout, avant et après la virgule), mais on peut changer ce nombre. En effet, la variable pré-créée Digits vaut par défaut 10. Il suffit de faire une nouvelle affectation, par exemple Digits:=4;. Attention, après cette instruction, tous les calculs effectués de manière numérique seront à 4 chiffres significatifs. Le dernier des chiffres est arrondi.

3. Calculs symboliques

Contrairement à la plupart des calculatrice, Maple a l'avantage de pouvoir faire du calcul symbolique, c'est-à-dire utiliser les variables en tant que tel, ce qui permet de résoudre des équations, des systèmes d'équations, de définir des fonctions, de faire des graphiques (cf. plus loin). On va illustrer ces quatre propriétés (parmi tant d'autres...) par un exemple :

	> solve(2x-6=0, x);
	3
	> solve({x+y=5, x-y=-1}, {x,y});
	{y = 3, x = 2}
	> f := x -> 2x-6;
	f := x → 2x - 6
	> plot(f(x), x=0..5);

Remarques :
• Pour définir une fonction, c'est comme en mathématiques en fait : on donne le nom de la fonction, le nom de la variable (ou des variables) et l'expression associée. On peut par exemple définir : f := (x, y) -> simplify(cos(x)^2+cos(y)^2);. Ainsi la simple commande f(2, 2); renverra le calcul correspondant, c'est-à-dire f (2, 2) = 1. On remarque que la présence de simplify dans l'expression de la fonction sert à dire à Maple de simplifier le résultat dès que c'est possible, par exemple si x = y, auquel cas f (x, y) vaut toujours 1 (dans l'exemple précédent, l'absence de simplify aurait entraîné l'affichage de cos(2)² + sin(2)². (cliquez ici si vous venez du chapitre 4)
• Sur le graphique, on voit bien que la solution de l'équation 2x – 6 = 0 est 3.

4. Aide en ligne

Maple est un logiciel extrêmement compliqué à utiliser dès qu'on explore au-delà de ses bases (en particulier quand on utilise des fonctions de packages comme LinearAlgebra, plots, stats...). Il arrive aussi qu'on oublie des commandes de base (ce n'est pas une honte !). Maple dispose d'une puissante aide en ligne (malheureusement en anglais, mais heureusement riche en exemples compréhensibles).

• Pour une commande donnée, on peut y accéder de deux manières différentes. Sous Windows, on peut taper cette commande sans parenthèses, sans arguments, juste son nom, puis taper sur [F1], et la fenêtre correspondant à cette commande s'ouvre alors. Une autre manière de faire, si on ne se rappelle plus par exemple de la commande solve, on peut taper directement dans Maple "> ?solve;", puis [Entrée], et on aboutit au même résultat précédent ;

• Pour une commande inconnue, cliquez sur "Help" dans la barre de menu (attention, sous unix, cet élément de la barre de menu est généralement tout à droite de la fenêtre), puis sur "Topic search..." dans le menu déroulant. Une fenêtre s'ouvre alors. La recherche est intuitive, c'est-à-dire actualisée à chaque lettre tapée.

5. Exercices

Exercice 1
a. Evaluez le cosinus de 3π/5 en affichant 5 chiffres ;
b. Evaluez cos(ln(3) sin(3π/7) + 5), en affichant 7 chiffres.
Exercice 2
a. Simplifiez l'expression suivante :
(tan(a + b) + tan(a – b)) (cos(a)² + cos(b)² – 1) ;
b. Développez l'expression sin(2a). Y a-t-il un rapport entre ces deux quantités ?
c. Développez l'expression suivante : ½ (cos(a – b) – cos(a + b)).
Exercice 3
Tracez la courbe représentative de 5x² + 3x – 5 pour x variant entre -10 et 5.